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La División

En matemática, la división es una operación aritmética de descomposición que consiste en averiguar cuántas veces un número (divisor) está contenido en otro número (dividendo). El resultado de una división recibe el nombre de cociente. De manera general puede decirse que la división es la operación inversa de la multiplicación, si bien la división no es un operación, propiamente dicha.

Debe distinguirse la división «exacta» (sujeto principal de este artículo) de la «división con resto» o residuo (la división euclídea). A diferencia de la suma, la resta o la multiplicación, la división entre números enteros no está siempre definida; en efecto: 4 dividido 2 es igual a 2 (un número entero), pero 2 entre 4 es igual a un medio, que ya no es un número entero. La definición formal de «división» dependerá luego del conjunto de definición.

Conceptualmente, la división describe dos nociones relacionadas aunque diferentes, la de «separar» y la de «repartir».¹ ² De manera formal, la división es una operación binaria que a dos números asocia el producto del primero por el inverso del segundo. Para un número no nulo, la función «división por ese número» es el recíproco de «multiplicación por ese número». De este modo, el cociente $a \$ dividido $b \$ se interpreta como el producto $\ a$ por $\frac{1}{b}$ .

Si la división no es exacta, es decir, el divisor no está contenido un número exacto de veces en el dividendo, la operación tendrá unresto o residuo, donde:

dividendo = cociente × divisor + resto.

Notación

En álgebra y ciencias, la división se denota generalmente a modo de fracción, con el dividendo escrito sobre el divisor. Por ejemplo $\dfrac{3}{4}$ se lee: tres dividido cuatro.

También puede emplearse una barra oblícua: $a/b\,$ . Este es el modo más corriente en los lenguajes de programación por computadora, puesto que puede ser fácilmente inscrito como secuencia simple del código ASCII. Existen variantes tipográficas como por ejemplo: ½, ¾, ¼, etc.

Otro modo indicar una división es por medio del símbolo óbelo ( $\div$ ) (también llamado "signo de la división"). Este símbolo también se usa para representar la operación de división en sí, como es de uso frecuente en las calculadoras. Una variante son los dos puntos o el punto y coma.

Propiedades

La división no es propiamente dicho una "operación" (es decir, una ley de composición interna definida por todas partes), sus «propiedades» no tienen implicaciones estructurales sobre el conjunto de números, y deben ser comprendidas dentro del contexto de los números fraccionarios.

no-conmutativa, contraejemplo: $5 \div 3 \neq 3 \div 5$ ;
no-asociativa, contraejemplo: $12 \div (4 \div 3) \neq (12 \div 4) \div 3$ ;
pseudo-elemento neutro a la derecha: 1

$\dfrac a1 = a$ ;

pseudo-elemento absorbente a la izquierda: 0

$\mbox{ si } b \neq 0, \dfrac 0b = 0$ ;

fracciones equivalentes:

$\dfrac ab = \dfrac cd \iff ad=bc\$ .

Algoritmos para la división

Ejemplo de una división.

El proceso usual de división (división larga) suele representarse bajo el diagrama:

		$Cociente \,$
$Divisor \,$		$Dividendo \,$
		$Resto \,$

Hasta el el siglo XVI, fue muy común el algoritmo de la división por galera, muy similar a la división larga, y a la postre sustituido por ésta como método predilecto de división.
Otro método consiste en la utilización de una «tabla elemental», similar a las tablas de multiplicar, con los resultados preestablecidos.

TABLA DE DIVIDIR
1 ÷ 1 = 1	2 ÷ 2 = 1	3 ÷ 3 = 1	4 ÷ 4 = 1	5 ÷ 5 = 1	6 ÷ 6 = 1	7 ÷ 7 = 1	8 ÷ 8 = 1	9 ÷ 9 = 1
2 ÷ 1 = 2	4 ÷ 2 = 2	6 ÷ 3 = 2	8 ÷ 4 = 2	10 ÷ 5 = 2	12 ÷ 6 = 2	14 ÷ 7 = 2	16 ÷ 8 = 2	18 ÷ 9 = 2
3 ÷ 1 = 3	6 ÷ 2 = 3	9 ÷ 3 = 3	12 ÷ 4 = 3	15 ÷ 5 = 3	18 ÷ 6 = 3	21 ÷ 7 = 3	24 ÷ 8 = 3	27 ÷ 9 = 3
4 ÷ 1 = 4	8 ÷ 2 = 4	12 ÷ 3 = 4	16 ÷ 4 = 4	20 ÷ 5 = 4	24 ÷ 6 = 4	28 ÷ 7 = 4	32 ÷ 8 = 4	36 ÷ 9 = 4
5 ÷ 1 = 5	10 ÷ 2 = 5	15 ÷ 3 = 5	20 ÷ 4 = 5	25 ÷ 5 = 5	30 ÷ 6 = 5	35 ÷ 7 = 5	40 ÷ 8 = 5	45 ÷ 9 = 5
6 ÷ 1 = 6	12 ÷ 2 = 6	18 ÷ 3 = 6	24 ÷ 4 = 6	30 ÷ 5 = 6	36 ÷ 6 = 6	42 ÷ 7 = 6	48 ÷ 8 = 6	54 ÷ 9 = 6
7 ÷ 1 = 7	14 ÷ 2 = 7	21 ÷ 3 = 7	28 ÷ 4 = 7	35 ÷ 5 = 7	42 ÷ 6 = 7	49 ÷ 7 = 7	56 ÷ 8 = 7	63 ÷ 9 = 7
8 ÷ 1 = 8	16 ÷ 2 = 8	24 ÷ 3 = 8	32 ÷ 4 = 8	40 ÷ 5 = 8	48 ÷ 6 = 8	56 ÷ 7 = 8	64 ÷ 8 = 8	72 ÷ 9 = 8
9 ÷ 1 = 9	18 ÷ 2 = 9	27 ÷ 3 = 9	36 ÷ 4 = 9	45 ÷ 5 = 9	54 ÷ 6 = 9	63 ÷ 7 = 9	72 ÷ 8 = 9	81 ÷ 9 = 9

División de números enteros

La división no es una operación cerrada, lo cual quiere decir que, en general, el resultado de dividir dos números enteros no será otro número entero, a menos que el dividendo sea un múltiplo entero del divisor.

Existen criterios de divisibilidad para números enteros (por ejemplo, todo número terminado en 0,2,4,6 u 8 será divisible entre 2), utilizados particularmente para descomponer los enteros en factores primos, lo que se usa en cálculos como el mínimo común múltiploo el máximo común divisor.

División de números racionales

El resultado de dividir dos fracciones es otra fracción (siempre y cuando el divisor no sea 0). Se puede definir de la manera siguiente: dados p/q y r/s,

${p/q \over r/s} = {p \over q} \times {s \over r} = {ps \over qr}$

Esta definición demuestra que la división funciona como la operación inversa de la multiplicación.

División de números reales

El resultado de dividir dos números reales es otro número real (siempre y cuando el divisor no sea 0). Se define como a/b = c si y solo si a = cb y b ≠ 0.

División entre cero

Artículo principal: División por cero.

La división de cualquier número por cero es una «indefinición». Esto resulta del hecho que cero multiplicado por cualquier cantidad finita es otra vez cero, es decir que el cero no posee un inverso multiplicativo.

La división entre otros objetos matemáticos

División de números complejos

El resultado de dividir dos números complejos es otro número complejo (siempre y cuando el divisor no sea 0). Se define como

${p + iq \over r + is} = {p r + q s \over r^2 + s^2} + i{q r - p s \over r^2 + s^2}$

en donde r y s ≠ 0.

En forma polar:

${p e^{iq} \over r e^{is}} = {p \over r}e^{i(q - s)}.$

División de polinomios

Artículo principal: División polinomial.

El concepto de división se puede extender a los polinomios, y definir así una estructura algebraica y una división polinomial. Existen varios algoritmos para ello, los más conocidos son: el algoritmo de Horner, la regla de Ruffini o el teorema del resto.